Закон великих чисел

Оскільки на практиці відомості про кожну випадкової величиною, найчастіше, є дуже скромними і впевнено передбачити яке можливе значення вона прийме важко, то може здатися, що не можна встановити закономірності поведінки і суми досить великого числа випадкових величин. Виявляється, що це не так.

Закон великих чисел у широкому сенсі - це загальний принцип, згідно з яким сукупна дія великого числа випадкових величин приводить, при деяких порівняно широких умовах, до результату, майже незалежного від випадку, тобто при великому числі випадкових величин їх середній результат перестає бути випадковим і може бути передбачений з великим ступенем точності.

Терема 1. (нерівність Маркова)

Якщо випадкова величина приймає тільки невід`ємні значення, то для будь-якого числа виконується нерівність: .

для події , протилежної події , нерівність Маркова може бути записано у вигляді:

Теорема 2. (нерівність Чебишева)

Імовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування по абсолютній величині менше будь-якого числа , не менш ніж , тобто .

для події , протилежної події , нерівність Чебишева може бути записано у вигляді: .

Теорема 3. (теорема Чебишева) якщо - попарно незалежні випадкові величини, причому дисперсії їх рівномірно обмежені (не перевищують постійного числа ), То, як би мало не було , вірогідність нерівності:

буде як завгодно близька до одиниці, якщо число випадкових величин досить велике.

Зауваження 1. Теорема Чебишева стверджує, що якщо розглядається досить велике число випадкових величин, що мають рівномірно обмежені дисперсії і є незалежними, то майже достовірним можна вважати подію, яка полягає в тому, що відхилення середнього арифметичного випадкових величин від середнього арифметичного їх математичних очікувань буде по абсолютній величині як завгодно малим.

Відео: Парадоксальні ймовірність - закон великих чисел 2

Теорема 4. (окремий випадок теореми Чебишева)

якщо - попарно незалежні випадкові величини, що мають однакові математичні очікування , і їх дисперсії рівномірно обмежені (не перевищують постійного числа ), То, як би мало не було , вірогідність нерівності:

буде як завгодно близька до одиниці, якщо число випадкових величин досить велике.

Сутність теореми Чебишева: хоча окремі незалежні випадкові величини можуть приймати значення, далекі від своїх математичних очікувань, середнє арифметичне достатньо великої кількості випадкових величин з великою ймовірністю приймає значення, близькі до певного постійного числа, а саме до числа . Іншими словами, окремі випадкові величини можуть мати значний розкид, а їх середнє арифметичне неуважно мало.

Значення теореми Чебишева для практики:

Відео: Введення в теорію великих чисел

При вимірі деякої фізичної величини виробляють кілька вимірів і їх середнє арифметичне приймають в якості шуканого розміру. Теорема Чебишева вказує умови, при яких вказаний спосіб може бути застосований.

На теоремі Чебишева заснований широко застосовуваний у статистиці вибірковий метод, суть якого полягає в тому, що за порівняно невеликою випадковою вибіркою судять про всю сукупність досліджуваних об`єктів.

Нехай виконані умови схеми незалежних випробувань Бернуллі, причому досить велике.

Теорема 5. (теорема Бернуллі) Якщо в кожному з незалежних випробувань ймовірність події постійна, то ймовірність того, що відхилення відносної частоти від ймовірності за абсолютною величиною буде як завгодно малим, буде як завгодно близька до одиниці якщо число випробувань досить велике, тобто